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三角函數

 

 

 

 

面對三角函數,我們在高中所學的所有三角有關的公式,其實都已經夠多了,也應該說都就是背很多公式就對了。那三角函數真的實用嗎?這麼多公式有甚麼特別的意涵嗎?三角函數只能應用在三角學嗎?答案其實很簡單,「他們」既實用又具深遠的歷史意義,甚至還可與其它數學領域作結合呢!......

 

    在高中有限的數學課裡,大部分的時間都是上正課,很少有機會讓同學去更深入了解三角函數的歷史和生命,就拿最簡單的三角函數的定義來說,是否有思考過「餘弦 」和「正弦 」的符號怎麼來?跟古埃及的符號有甚麼關聯?我們可以花點課餘的時間去思考看看,會讓你的高中數學生活不再是只有公式的日子了。

    在毛爾教授書《毛起來說三角》中,你就可以充分的認識到三角函數的「可愛處」了。書中會提及到三角符號與歷史由來,還有它的公式演變過程,公式不是為考試和測驗智力兒「蹦」出來的,公式必定有它出現的意義在,就像是著名的麥卡托,他是公認世界最有名的製圖者,他的製圖能力足以在哥倫布發現新大陸時代站上最前瞻,他的方法很簡單,就是利用三角與空間中的球體來繪製地球,在當時的航海時代造成轟動,書中就會有解釋麥卡托是如何繪製的。

    再則,有篇關於利用幾何作圖將收斂的無窮等比級數之和在數線上找到,過程不難而且非常容易操作,只要利用國中所學的幾何作圖方式,重複作出等角,你就可以在數線上找到任意的收斂無窮級數之和了。這對現在「已知」許多高中數學公式的我們來說,大可不必大費周章畫圖來求無窮等比級數和,只要給我們公比與首項,計算能力充實的我們兩三秒就可以交卷了,但是對古希臘的數學家來說,當初對於涉及到「無窮」的相關數學問題時,都是避而遠之,能不觸碰到就不碰觸到,因為「無窮」的概念在當時,沒有人可以明確的定義它和用數學語言去說明「無窮大」,更何況將一群「無窮數列」一口氣的加起來了,特別的是,還要經過漫長的證明和推導才知道是「收斂」還「發散」,經過時間翻騰之後才知前者就可以算出來了,無窮等比級數公式又有那麼一段歷史在。

    就像是有這麼一段故事。在公元前五世紀的希臘哲學家芝諾( Zeno of Elea ),把這些問題總結為四個詭論,他稱之為「論證」,目的在證明「連續」這個概念蘊含的基本困境。他稱其中之一為「二分」,意圖證明運動是不可能的,這樣的一個詭論為:如果有一個人要從A點跑到B點,他必須先跑完AB的一半路程,然後再跑完其餘路程的一半,是餘下的一半,以此類推。由於牽涉到無限步,Zeno辯稱跑者永遠無法到達終點。我們現在的語言來看,就很容易敘述Zeno的詭論。令AB的距離為1,跑者先跑了距離的一半,然後餘下的一半,以此類推,因此跑者所跑的總距離就是下列這個和:

 

 

 

 

剛剛好上式是一個公比為1/2的等比級數。我們所加的項越多,和就會越大,也會越靠近1,但是絕對不會達到1,更別說是超過1了。

 

    歐幾里得在他的《幾何原本》只談幾何。的確,幾何占了大部分的篇幅,但這部巨著也包含了相當廣泛的題材,上至算術,下至數論及數列理論。第八冊全部及第九冊的一部分談到了「連比例」,也就是構成等比數列的數(自畢達哥拉斯發現因接對應於弦長的比例,這就成為希臘人喜愛的課題)。第九冊的定理35以及文字敘述了等比級數求和方法:『 如果有我們想要的那麼多數成連比例,從第二個()及最後一個()中減去第一個數,則第二個數超出部分與第一個數之比,等於最後一個數超出部分與前面所有數的比。』

    經過這本書之後,我們可以充分的被三角函數正式的洗禮。我們不會在侷限在公式滿滿的高中數學,我們可以用追朔歷史的觀點來看三角。數學是我的本學科,我的學習階段也是一直接觸數學,到現在是要上高中生的數學課,這些學習的這些學習的過程能有這樣對數學史的偶然是非常棒的,有機會認識它們的歷史和生命,會讓你對數學提升更大的興趣,也會讓你在辛苦的高中求學生涯裡學的快樂些,有些事情就是一定你親自去摸索,才會有意義!

 

內容引用自台北市建國中學數學科實習老師洪美珠老師撰寫內容

 

 

 

毛起來說三角

毛爾(Eli Maor)著 胡守仁   天下遠見/2000 初版 

 

 

 

  公元前兩千多年,埃及人應用簡單的三角學來建造金字塔;巴比倫的天文學家精通在天球上測量角距,詳細記錄了星星的升落、行星的運轉、日蝕、月蝕等現象;十六世紀製圖大師利用三角學的觀念,製作出航海者可依循的世界地圖。本書作者毛爾(Eli Maor)秉持著自己對三角學的喜愛,捨棄枯燥的公式,嘗試從歷史的角度來介紹三角學。藉由一連串的三角學小故事,作者試圖幫助學生從了解三角學的過程中,喜歡數學。

  聽到「三角學」,絕大多數的人只會想到一大堆瑣碎的sinecosine、半角公式、倍角公式、什麼和化積、積化和的,很少人會露出感興趣的神色,更別提好好思考這些稀奇古怪的公式有何實用性了。三角學其實是與現實世界有密切關連的一門學問,對於一直想知道三角學的起源、想知道三角學有何用途的讀者,這本書可以給你許多啟發。 ─摘自本書簡介

 

微積分之旅(A Tour of the Calculus)

柏林斯基(David Berlinski)    陳雅茜   天下文化/2000 初版

 

這是一趟微積分之旅,帶領讀者體驗微積分的精實內涵,而非提供艱澀、枯燥的論文。這本書把重點放在微積分的基本要素,省略了習題、作業或是任何市面上類似的微積分教課書。儘量避免數學公式,改用文字敘述,但是要解釋數學是不可能不用到數學算式的,所以在有些章節最後增添了附錄,提供完整、正式的定義與定理闡述。在外行人眼中,數學家的符號體系就像中國字一樣不容易親近,但這些記號卻是極其精簡的工具,擁有無比的力量。本書卻盡量減少使用這些工具,好讓符號在平板的文字區塊中發光發亮,就好像襯在黑色天鵝絨上閃耀的珠寶。─摘自本書簡介 

 

歐幾里得.幾何原本

藍紀正‧朱恩寛譯   九章/1992 初版

 

歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》(Elements)是一部劃時代的著作。它偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起演繹體系的最早典範。在《幾何原本》以前,所積累下來的數學知識,是零碎的、片斷的,可以比作木石、磚瓦。只有借助於邏輯方法,把這些知識組織起來,加以分類、比較,揭露彼此間的內在聯繫,整理在一個嚴密的系統之中,才能建成巍峨的大廈。《幾何原本》完成了這一項艱巨的任務,它對整估數學的發展產生了深遠的影響。從來沒有一本科學書藉像《幾何原本》那樣長期成為廣大學子傳誦的讀物。它流傳之廣,影響之大,僅次於基督教的《聖經》。 ─摘自本書簡介

 

高斯:偉大數學家的一生 (Garl. F. Gauss 2888-1855)

郝爾(Tord Hall)  田光復 等譯  凡異/1986 初版

 

十八歲的高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題,而這個數學上的新發現使他決定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的,他用歐氏工具(尺、圓規)作圖解了一個令歐幾里得頓挫百斯不得其解的難題。高斯只使用了直尺和圓規作圖圓內接正17邊形......高斯曾說過:「數學是科學的皇后,而數論是數學的女王」,那時代的人因此就稱高斯是「數學王子」。他將創造性直觀、卓越的計算能力、嚴密的邏輯推理、精密的實驗,和諧的融合在一起,解決了自然科學大大小小的問題。目前我們仍將高斯和阿基米得、牛頓視為人類史上最傑出的三位數學家─摘自昌爸工作坊 

 

數學史─古典篇、近代篇

林聰源編著   凡異出版/2001 初版

 

 

為近代精確科學樹立基礎的科學家牛頓曾說過:「我站在巨人的肩上,所以我看得更遠」,意即集中在牛頓一人身上的偉大成就,無論數學、天文、或力學都是源自古代科學知識,沒有托勒密完成的古典天文學體系,就不可能有凱卜勒的新天文學,也就不可能有牛頓的天體力學;阿波隆紐士的圓錐曲線牛頓知之甚詳,否則我們無法想像牛頓如何發展萬有引力;我們非得延續阿基米得的求面積求體積,才能了解牛頓的積分學.....「想要學好一門科學,絕對要了解它的來龍去脈」,《數學史》一書涵蓋數學的古早起源到近代數學,將為您娓娓道來重要學者及其定理。 ─摘自本書序  

 

大數學家 Men of mathematics

E. T. Bell  井竹君等譯   九章/1998 初版

 

本書以近代1719世紀的30位大數學家為主體,雖說這三個世紀產生過成百上千的數學家,但只有幾十位數學家的貢獻最為傑出,其中這30位決定了今天數學的面貌,這些數學家在數學思想史中重大又簡明的指導概念上至今仍極其重要。本書也為一般讀者介紹了數學家的生平,讓讀者了解創立近代數學的到底是些什麼樣的人,讀過了這些傳記就等於對近代數學做了一次巡禮。─摘自本書序

 

 

 以上部份書籍簡介及圖片摘自博客來網路書店.

 

 

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